중학생 때 교회에서 우연히 연극을 한 것이 연기의 첫 시작이었다고 한다. 연기를 시작하게 된 계기는 대학 진로를 고민할 때 교회에서 함께 연기를 했던 친구가 연기를 배워보자고 해서 연기를 하게 되었다고 한다. 그러나 해당 친구는 디자인을 전공하고, 자신은 건국대학교 영화학과를 진학하게 되었다. 참고로 엄태구는 건국대학교 영화학과 1기이다.

2007년 영화 《기담》으로 첫 데뷔한 뒤 수많은 작품에서 단역과 조연으로 나오다 2014년 드라마 《감격시대: 투신의 탄생》의 악역 도꾸로 인지도를 남겼다. 이후 2016년 개봉한 영화 《밀정》의 하시모토 역으로 송강호에게도 밀리지 않는 카리스마를 뽐내며 강렬한 인상을 새겨주었다. 엄태구 본인도 본인의 연기인생은 밀정 출연과 밀정에서 송강호를 만나기 전과 후로 나뉠 것 같다고 말하였다. 이후 영화 《택시 운전사》에서 김사복과 위르겐 힌츠페터가 서울로 돌아가는 길에 군인과 조우하는 가장 강렬한 장면에서 압도적 분위기를 자아낸 박중사로 출연하며 송강호와 재회했다. 놀라운 것은 그 장면은 실화를 바탕으로 했다는 것. 출연은 고작 4분 가량이지만 강렬한 인상을 남겼다. 송강호가 밀정에서 함께했던 기억으로 감독에게 연기 잘한다고 추천하여 오디션을 보게 되었다고 한다.

형은 영화 감독 엄태화다. 형제는 독립영화계에서부터 상업영화계에까지 뚜렷한 존재감을 보이며 승승장구하고 있다. 참고로 엄태화 감독과 총 6편의 작품을 함께 했다. 《하트바이브레이터》, 《숲》, 《유숙자》, 《잉투기》, 《가려진 시간》, 《콘크리트 유토피아》

2019년에는 OCN 드라마 《구해줘 2》에서 주인공 김민철 역을 맡으면서 드라마 첫 주연을 맡게 되었다. 껄렁하면서도 진중한, 선과 악이 공존하는 모습을 잘 표현해낸 호연으로 드라마 흥행에 일조했다.

2024년에는 JTBC 드라마 《놀아주는 여자》에서 첫 로맨틱 코미디 주연을 맡게 되어 화제가 되었다. 《구해줘 2》에서 함께 호흡을 맞춘 한선화와 재회했다. 그동안 어둡고 무거운 배역으로 이미지가 굳어졌지만 새로운 장르에 도전하고자 하는 본인의 의지와 몇몇 독립영화들에서 보여준 짧은 로맨스 연기 및 실제 본인의 순수한 성격이 잘 어우러져 새로운 면모와 색다른 재미를 안겨주고 있어 호평이다. 이 작품으로 "태구는 로코다"란 수식어가 생겼다.